괴델, 에셔, 바흐 (상) / 더글러스 호프스태터

 

 

 

 

쿠르트 괴델 -  수학자, 논리학자

마우리츠 코르넬리스 에셔 - 판화가

요한 제바스티안 바흐 - 작곡가

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

누구나 칭송하지만 아무도 읽지 않는 책을 가리켜 고전이라고 한다.  - 마크 트웨인

 

 

 

ㆍSMUT - 악보 인쇄 프로그램

 

ㆍ인생에 남아도는 시간이란 없습니다. 인생은 별도의 공간과 사치를 허용할 정도로 길지 않습니다. 

 

 

 

 

 

 

제1부: GEB

 

 

 

 

 

서론:음악-논리학의 헌정

 

ㆍ카논의 기본 원리는 하나의 주제를 스스로에게 다시 적용하는 것이다. 이것은 그 곡에 개입하는 여러 성부들이 주제를 모방하는 방식으로 일어난다. 

 

ㆍ좀 더 유연한 화성을 위해서는 엄격한 모방에서 좀 벗어나게 함으로써, 카논 형식의 긴장을 누그러뜨리는 것이 필요하다. 그래서 자유로운 성부들을 가지는 카논들도 있는데, 그 성부들은 카논의 주제를 이용하는 것이 아니라, 단지 카논을 형성하는 성부들을 편안한 방식으로 조화시키는 것들이다. 

 

ㆍ푸가는 카논보다 덜 엄격하며, 그 결과 감정이나 예술성을 더 자유롭게 표현할 수 있다. 

 

ㆍ'음악의 헌정'은 바흐 대위법의 극치를 보여준다. '음악의 헌정'은 그 자체로 거대한 지적인 푸가로서, 수많은 영감과 형식이 어우러져 있고 유희적인 중의성과 미묘한 암시로 가득한 대작이다. 

 

ㆍ고리란 무한한 과정을 유한한 방식으로 재현하기 때문에 이상한 고리의 개념에는 무한성의 개념이 함축되었는가? 무한성은 에셔의 많은 그림에서 중요한 역할을 한다. 단일 주제의 모방들이 종종 서로 조화를 이루어서, 마치 바흐의 카논을 시각적으로 비유한 것 같다. 

 

ㆍ바흐와 에셔의 이상한 고리의 보기에서는 유한과 무한 사이의 갈등이 존재해서, 마치 이율배반이라도 있는 것 같은 느낌이 강했다. 직관적으로 여기에 무엇인가 수학적인 것이 개입되었다고 추측한다. 바흐와 에셔의 고리가 - 음계나 계단처럼 - 매우 간단한 그리고 아주 오래 된 직관에 호소하는 것과 마찬가지로, 괴델의 수학체계상의 이상한 고리의 발견도 고대로부터 내려오는 직관에 뿌리를 두고 있다. 매우 단순한 형태로 된 괴델의 발견은 고대의 철학적 이율배반을 수학언어로 번역해 놓은 것이다. 

 

ㆍ괴델은 수가 어떤 방식으로든 명제를 표상할 수 있다면, 수론상의 명제가 수론상의 명제에 대해서 스스로 진술할 수 있다는 것을 파악했다. 

 

ㆍ기하학이란 추성적인 점과 선의 속성에 대한 이론을 의미한다. 

 

ㆍ대부분의 집합은 실은 자기 자체의 요소가 아니다. - 러셀의 모순

 

ㆍ그 누구도 지능적 행동과 비지능적 행동 사이의 한계가 어디에 있는지 모른다; 아마 그 사이의 명확히 구분된 경계가 있다고 말하는 것은 좀 어리석은 판단일 것이다. 그러나 다음과 같은 속성들이 지능에 본질적이라는 것은 분명하다: 
- 그때그때 상황에 대해서 매우 유연하게 대응한다;

- 우발적인 주변조건을 활용한다.;

- 상황의 상이한 성분들 사이의 차이를 분별해서 비교적 더 중요한 것을 인식한다;

- 서로를 분리시키는 것으로 보이는 차이에도 불구하고 상황들 사이의 유사성을 찾는다;

- 서로를 연계시키는 것으로 보이는 유사성에도 불구하고 상황들 사이의 차이를 찾는다;

- 낡은 개념들을 새롭게 결합하는 가운데 새로운 개념들을 합성한다;

- 신기한 착상을 떠올린다.

 

 

ㆍ컴퓨터는 그 본질상 가장 경직되고, 욕구도 가지지 않으며, 규칙에 가장 충실한 짐승이다. 제아무리 빨리 작동한다고 해도, 컴퓨터는 의식을 가지고 있지 않음의 전형이다. 그렇다면 지능적인 행동이 어떻게 프로그래밍될 수 있을까? 그것은 가장 명백한 자체 모순이 아닐까? 이 책의 주요 목표 중의 하나는 이것이 전혀 모순이 아니라는 것이다. 또한 이 책의 주요 목표 중의 하나는, 언뜻 보기에 모순 같은 것에 독자들을 직접 대면시키고 이리저리 모색케 해서, 그 모순 속에서 독자들 스스로 이리저리 궁리한 결과, 이 책을 읽는 가운데 궁극적으로 형식성과 비형식성, 생명과 비생명, 유연성과 경직성 사이의 메울 수 없는 골을 새롭게 통찰하게 만드는 것이다. 그것이 바로 인공지능 연구의 대상이다. 그런데 인공지능 연구의 이상한 매력은 바로 일련의 엄격한 공식으로 된 규칙들의 집합을 통해서 경직된 기계를 유연하는 만드는 방법을 정립하는 데 있다. 

 

ㆍ나는 세 가닥의 실, 즉 괴델, 에셔, 바흐를 가지고 영원한 황금 노끈을 엮어나고자 했다. 궁극적으로 나는 괴델과 에셔와 바흐는 어떤 핵심적인 정수를 다른 방향으로 펼친 그림자들이었음을 알게 되었다. 이러한 핵심적인 관심대상을 재구성하려고 한 결과 이 책이 탄생하게 된 것이다. 

 

 

3성 인벤션

(아킬레스와 거북, 그리고 제논과의 대화)

ㆍ바람도 깃발도 둘 중의 어느 것도 움직이지 않습니다. 움직이는 아무것도 없어요. '운동은 본질적으로 가능하다.' 그리고 이 정리로부터 더 위대한 제논의 정리, 즉 '운동은 비존재한다'가 나옵니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

제1장 MU-수수께끼

2성 인벤션

 

 

ㆍ적용 가능한 규칙이 여럿 있을 경우에 어떤 특정한 규칙만을 쓰도록 지시하는 규정은 없다. 그것은 여러분 마음대로이며, 말할 것도 없이, 형식 체계의 놀이가 예술이 될 수 있는 경우이다. 말할 필요조차 없는 중요한 사안은, 여러분이 규칙을 위반하는 어떤 일도 해서는 안 된다는 것이다. 

 

ㆍ정리들은 증명된다기보다는, 그저 생성되는 것이다. 

 

ㆍ자신이 하고 있는 명명백백한 사실을 결코 인식하지 못하는 방식으로 일상화된 과제의 해결을 위해서 기계를 프로그래밍하는 것이 가능하다. 

 

2성 인벤션

 

 

 

 

 

 

 

 

 

제2장 수학에서의 의미와 형식

 

ㆍ언어와 사고는 과연 형식화 규칙을 따르는가 그렇지 않은가?

 

ㆍ우리는 문제를 어떤 새로운 그러나 더 짧은 연쇄체들 중의 하나가 정리인지를 결정하는 것으로 환원시킨다. 

 

ㆍ확대규칙들만을 포함하는 형식체계들은 매력이 없다는 것을 보여준다. 비로소 확대규칙과 단축규칙이 같이 적용되어야만 형식체계가 재미있어 진다. 

 

ㆍpq- 체계는 원래는 의미가 없지만 한 형식체계의 기호들이, 적어도 동형관계가 확인되는 경우에는, 어쩔 수 없이 의미와 같은 무언인가를 가정한다는 인식을 강요하는 것 같다. 

 

ㆍ현실로서의 수는 제멋대로이다. 하지만 인간은 태곳적부터 수가 제멋대로여서는 안 된다고 믿어왔다. 따라서 현실의 자질구레한 일들이 개입되지 않고서도 수에 대해서 말할 수 있어야 한다. 이상적인 수를 장악하는 선명한 규칙들이 바로 대수학이며, 대수학의 발전된 결과가 곧 수론이다. 실제의 사물로서의 수로부터 형식적인 것으로서의 수로 전환되는 과정에서는 오직 하나의 질문만이 유효하다. 일단 수론의 모든 것을 이상적인 체계로 포착하기로 결정했다면, 과연 이 과제를 완벽하게 처리할 수 있을까? 수란 과연 형식체계의 규칙으로 완벽하게 파악할 수 있을 만큼 순수하고 투명하며 규칙적인 것일까?

 

ㆍ명제들은 모두 적은 수의 단순화된 일련의 기호들로 표현되기 때문에, 패턴의 성격을 취한다. 

 

무반주 아킬레스를 위한 소나타

 

 

 

 

 

제3장 전경과 배경

 

ㆍ인식가능한 형태가 있을 때, 그것의 소극적인 공간은 인식불가능한 형태이다. 

ㆍ하나의 전경과 그 전경의 배경이 어떻게 그야말로 똑같은 정보를 함유할 수 있을까?

 

ㆍ형식체계가 있을때, 그것의 무표공간(비정리의 집합)은 어떤 형식체계의 유표공간(정리의 집합)도 아니다. 

 

ㆍ재귀순환적으로 연산될 수 있는, 그러나 재귀순환적이지 않은 집합들이 존재한다. 

 

 

 

 

 

두문자어 대위법

 

 

 

 

 

제4장 무모순성, 완전성 그리고 기하학

 

ㆍ일반적으로 동형관계가 복잡해질수록, 그 기호들로부터 의미를 추측하기 위하여 더욱더 많은 장치들, 하드웨어는 물론 소프트웨어가 필요하다. 그 동형관계가 매우 간단하다면 우리는 우리가 인식할 수 있는 의미를 명시적이라고 말하는 편이다. 우리는 동형관계를 파악하지 않아도 의미를 파악한다. 가장 극명한 보기가 인간의 언어이다. 인간의 언어에서는 종종 그 낱말들에 의미를 부여하는 극도로 복잡한 동형관계를 전혀 의식하지 않고도 낱말들 자체에 의미를 할당한다. 이것은 너무나도 쉽게 범하는 오류이다. 그래서 모든 의미를 물체(낱말)에 할당하지 이 물체와 현실 사이의 연결관계에 할당하지 않는다. 

 

ㆍ무모순성: 해석된 모든 정리가 참으로 입증되는 경우

ㆍ완전성: 참인 동시에 그 체계의 적형적인 연쇄체로서 표현될 수 있는 모든 진술이 정리인 경우

 

 

 

작은 화성의 미로

ㆍ'그곳을 방문한다'는 게 무슨 뜻이지? 모순의 세계란 존재하지 않아. 그런데 어떻게 그곳을 방문하지?

 

 

 

 

 

 

제5장 재귀적 구조와 과정

 

ㆍ컴퓨터 프로그래밍의 본질적인 기법 중의 하나는 두 개의 처리절차가 넓은 의미에서 동일해지는 것을 감지하는, 즉 하나의 과제를 자연적인 하위과제로 분할하는 모듈화이다. 

 

 

 

음정확대에 의한 카논

 

 

 

 

 

제6장 의미는 어디에 자리잡고 있는가

 

ㆍ사물은 언제 자기 스스로와 늘 같은 것은 아니게 되는가?

 

ㆍDNA 분자(유전자형 genotype)는 - 단백질의 형성, DNA의 복제, 세포의 복제, 세포형의 점진적인 분화 등 을 포괄하는 매우 복잡한 과정을 거쳐서 하나의 유기체 - 표현형 phenotype으로 변환된다. 

 

ㆍ도대체 메시지가 존재한다는 사실을 어떻게 인식하는가? 메시지의 근본 틀을 어떻게 확인할 수 있는가?

 

ㆍ모든 메세지는 세 층위를 가진다. 맥락과 무관한 메시지의 해독을 위한 정보의 세 층위가 뚜렷이 구별된다. 1) 틀 메시지, 2) 외부 메시지, 3) 내부 메시지. 이중에서 우리에게 가장 익숙한 것은 3) 내부 메시지이다. 그것은 전달되어야 하는 메세지이다. 내부 메시지를 이해한다는 것은 발신자에 의해서 의도된 의미를 추출했다는 뜻이다. 외부 메시지를 이해한다는 것은 내부 메시지에 대한 올바른 해독-메커지즘을 구축한다는 것 또는 구축하는 방법을 안다는 것을 뜻한다. 

 

ㆍ지능이 자연적이라면, 의미는 고유하다. 

 

 

 

 

반음계 환상곡과 반목

 

 

 

 

 

제7장 명제계산

ㆍ정리들에 대한 결정과정은 존재하는가?

 

ㆍ명제계산들은 모든 가능 세계에서 참이 될 진술을 생성하는 일련의 규칙을 우리에게 제공한다. 그렇기 때문에 그 진술들의 정리가 매우 단순하게 보이는 것이다. 

 

ㆍ증명은 무엇인가 비형식적인 것, 달리 말하면 일상적인 사고의 결과로서, 인간이 사용하는 언어로 기술된다. 증명들 속에서는 사고의 모든 복잡한 속성이 사용될 수 있는데, 그것들이 '옳다고 느껴지더라도' 논리적으로 방어도리 수 있을지 의심스럽다. 

게 카논

 

 

 

 

제8장 활자형 수론

 

 

ㆍTNT Typographical Number Thoery - 활자형 수론

 

 

 

 

무의 헌정

 

 

 

 

 

 

제9장 무문과 괴델

ㆍ참선이란 무엇인가? 선불교의 근본원리 중의 한 가지는 참선이 무엇인가를 규정하는 방법이 없다는 것이다. 참선을 어떤 언어적 영역에 포함시키건 간에, 참선은 그것을 거부하며 그위로 넘쳐 흐른다. 따라서 참선을 규명하려는 모든 노력은 완전히 시간낭비처럼 보인다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

제2부: EGB

 

 

전주곡……

ㆍ적절한 증거가 결코 존재하지 않는다면, '정리'보다는 '추측'이라고 말해야 하지 않을까?

 

ㆍ결과 자체보다 더 중요한 것은 그 결과가 곧바로 유도할 실제적인 용도이다. 

 

 

 

 

 

 

 

제10장 기술층위와 컴퓨터 체계

 

 

ㆍ우리는 우리 자신의 두 개념들 사이를 왔다갔다 하면서, "어째서 이 완전히 다른 두 방식이 바로 나 자신일 수 있는가?"라고 자문할 수 밖에 없다. 

 

ㆍ인공지능 연구의 가장 중요한 문제들 중의 하나는 하나의 기술층위를 받아들일 수 있는 체계를 어떻게 구축할 것이며, 다른 층위를 어떻게 만드는가를 규명하는 두 가지 기술 사이의 괴리를 어떻게 중재하는가이다. 

 

ㆍ우리는 성, 권력, 명예, 사랑 등에 대한 본능적 욕구를 언급한다. 하지만 이러한 본능적 욕구들이 인간의 정신적인 구조의 어디에서 유래하는지 알지 못한다. 우리 자신의 정체에 대하여 우리가 겪는 혼란은 분명히 우리가 매우 많은 층위들의 집합으로 이루어지며, 이 모든 층위에서 우리 자신을 기술하는 중복되는 언어를 사용한다는 점과 관계가 있다. 

 

ㆍ컴퓨터가 어디에 쓸모가 있을까를 숙고해본다면, 인간이 하기에는 너무 복잡한 과제들을 명확하고 상세하게 수행한다는 것을 확인할 수 있을 것이다. 컴퓨터가 신뢰감을 얻으려면, 자신이 하는 일에 털끝만큼의 중의성도 없어야 한다. 또한 자신에게 명시적으로 명령된 그 이상도 이하도 아닌 바로 그것만을 해야 한다. 만약에 프로그래머가 자신이 바라거나 의도하는 것이 무엇인지 추측하는데 쓰일 프로그램을 숨겨놓고 있다면, 그 프로그래머가 자기의 과제를 전달하고자 하지만 완전히 오해받을 수 있음을 능히 상상할 수 있다. 따라서 높은 층위의 프로그램은 인간에게는 편안하지만, 애매하지 않으면서도 정확해야 한다는 것이 중요하다. 

 

ㆍ인공지능의 진보는 곧 언어의 진보이다. 

ㆍ하드웨어와 스프트웨어 사이의 구별은 무엇인가? 그것은 프로그램과 기계, 길고도 복잡한 명령의 배열과 그 명령을 수행하는 물리적인 기계 사이의 구별이다. 나는 소프트웨어를 곧잘 '전화선으로 보내질 수 있는 모든 것'으로 정의하며, 하드웨어는 '그밖의 것들'이라고 생각한다. 피아노는 하드웨어이고, 인쇄된 악보는 소프트웨어이다. 전화기는 하드웨어이고, 전화번호는 소프트웨어이다. 

 

ㆍ우리는 우리의 두뇌에 배선공사를 새로 할 수 없다. 우리는 뉴런의 내부구조를 새로 디자인할 수 없다. 하드웨어에 관한 한 우리에게는 그 어떤 선택의 여지도 없다. 그렇지만 우리는 우리가 생각하는 방식에 일정한 통제력을 행사할 수는 있다. 

 

ㆍ컴퓨터는 우리가 명령한 것만을 수행할 수 있다. 하지만 우리는 컴퓨터에 명령을 내린 결과를 미리 알지 못한다. 따라서 컴퓨터의 행동은 마치 사람의 행동처럼 기가 막히고 놀라우며 예측 불가능하다. 우리는 통상적으로 출력이 어느 공간에 할당될지 대략은 알지만, 어느 곳에 할당될지 정확히 알지는 못한다. 

 

 

 

 

 

 

 

……과 개미 푸가

ㆍ모든 기호의 활동은 그들이 자리잡고 있는 전체 체계의 상태에 의해서 엄격하게 결정되어 있다. 따라서 전체 체계는 체계의 기호들이 서로를 격발하는 방식을 담당한다. 

 

 

 

 

 

 

 

제11장 뇌와 사고

 

ㆍ생각하는 기계를 만들려고 했으며, 사고라는 주제에 대한 기괴한 변형들을 생각한 것은 비로소 컴퓨터가 출현한 다음이었다. 

 

ㆍ사고는 현실을 두뇌의 하드웨어로 표상한다는 것에 토대를 두어야 한다. 

 

ㆍ두뇌는 어떤 활자형 기호도 가지지는 않지만,그것보다 더 나은 무엇을 가진다. 즉 정보를 저장하고 운송하며 다른 능동적인 요소들로부터 그것으르 수용할 수 있는 능동적인 요소들을 가진다. 말하자면 우리는 수동적인 활자형 기호 대신에, 능동적인 기호를 가지는 것이다. 종이 위에 쓰인 기호들은 정태적인 실체이며 그 규칙들이 우리의 머리 안에 존재하는 반면에, 두뇌에서는 규칙들이 기호들 자체와 뒤섞여 있다. 

 

ㆍ사고에서는 세계에 대한 유연하고도 내포적인 표상이 가장 중요하다. 그러면 두뇌와 같은 생리적 체계가 그런 체계를 어떻게 지탱할 수 있을까?

ㆍ뉴런이 사물을 상징화한 것이 아니라 기호가 사물을 상징화한다. 기호들은 개념을 하드웨어로 실현한 것이다. 다른 뉴런은 격발하는 뉴런의 한 무리는 외부세계의 어떤 사건과도 조응하지 않는 반면에, 다른 기호를 통한 한 기호의 격발은 실재세계 - 또는 적어도 가상세계 - 에서 일어나는 사건들과 관련된다. 

 

ㆍ지능이란 두뇌에 속박된 현상인 동시에, 다양한 층위의 법칙들의 위계질서 덕분에 존재하는, 파헤치기 아주 어려운 현상임을 암시한다. 

 

ㆍ인공지능에서는 절차적 지식과 정언적 지식을 구별한다. 어떤 지식이 있을 때, 그것을 프로그래머뿐만 아니라 프로그램도 판독할 수 있게 만든, 사전이나 연감에 실린 것처럼 저장되어 있는 지식을 정언적이라고 한다. 이것은 일반적으로 국소적으로 코드화되어서 분산되어 있지 않다는 것을 의미한다. 이에 반해서 절차적 지식은, 사건이 아니라 프로그램에서만 코드화되었다는 것을 뜻한다. 

 

ㆍ의식의 속성 중에서 가장 놀랄 만하고 기술하기 가장 어려운 것들 중의 하나가 바로 시각 이미지 처리이다. 

 

 

 

 

 

 

영국-프랑스-독일 모음곡